大阪の弁護士大川一夫のブログ

数学教育と歴史修正主義

「動的平衡」を初めて読んだときその驚くべき視点に感動したが、その「動的平衡」で有名な福岡伸一教授の朝日新聞の連載コラムにはいつも感心する。

福岡教授は、本日は日本ではホワイトデーだが、米国ではパイの日という話題から「３・１４」が円周率のところ、かつて、いわゆる“ゆとり教育”の頃「円周率は３」でよいとの風聞が流れた事を批判する。

さらには東大の名問題（円周率は３・０５以上であることを証明せよ）を引き、最後に、数学を軽んじる教育は、歴史の発展を無視するもので「歴史修正主義」と断じている。

数学教育の軽視が問題なのは全く同感だが、その批判の視点が、「歴史修正主義」というのが極めて面白い。

今日一般には、「従軍慰安婦強制連行はなかった」「南京大虐殺はなかった」など「美しい日本」を強調するために「加害の事実」を打ち消そうとして、歴史を捻じ曲げる主張が歴史修正主義と言われる。

数学教育、科学教育で、歴史の発展を無視して教えるのは確かに、歴史修正主義かもしれない。

福岡教授のこういう意表をつく発想に感心するのである。

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ダメな理由はない！

２０１８年11月 2５日のブログで、阪急電車によく広告される、日能研の「シカクい頭をマルくする」中学入試シリーズで立命館中学の入試問題が出ていることを紹介した。

非常に面白い問題であり感心したが、同時に「代数」を使えれば難なく解けるのに、これを、代数を使わないでどうして説くのだろう、と疑問を呈したブログである。

実は、私は＜中学入試問題では「小学校で習う解き方で解く」つまり、代数や方程式は使ってはいけない＞と思い込んでいたが、どうやらこれは誤解であり、しかもこの誤解は広くいきわたっているようである。

これが誤解と知ったのは、朝日新聞３月１１日付「中学入試　方程式はＮＧ？」という記事である。
大変面白い記事で、実は、中学側は、何と、方程式で説いたとしても「ダメな理由はない」という。
つまり正解なのだから、不合格にする理由はないという。

では何故こういう誤解が生じたかと言えば、小学校教育では「教科書と違う解き方は誤り」としていることにある。
＜鶴亀算を教えているのだから、鶴亀算以外の解き方をしてはいけない＞
＜ジュース４７ダースの本数を求める計算は、１２×４７と教えているから、４７×１２では誤り＞などなど、要するに、正しくても、教え方と違うのは誤りというわけである。

ここに、我が国の教育の問題点の本質が如実に表れている。

つまり、我が国の教育は＜真理、真実を追究する＞のではなく、＜言われた通りに従う＞ことを重視していることがわかる。

この教育の行きつくところは、何なのか。
要するに＜言われたことに従え＞

＜言われてことに従わないのは、真理として正しくてもダメ＞

繰り返すが、この教育の行きつくところは何なのか。

大変、恐ろしい。

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看空師の新年パズル

有難いことにたくさんの年賀状を頂戴し、非常に長文のメッセージが入ったものなど、凝った年賀状は読むのが楽しみである。

パズル入りの作品も楽しみであるが、オーソドックスなのは年号にあやかるのが基本である。

私も以前、年号にあやかったパズルを作り当事務所の「事務所報」に掲載したことがあるが、なかなか難しいものである。
難しいというのは、解き手の意欲をかきたて、それでなおかつ唸らせるというほど良い難度の作品を作るのが難しいという意味である。
最近では、どちらかというと「ひっかけパズル」を作るため、真面目な方からは批判されたりしている。

それはさておき、今年感心した作品。

大学時代からの友人、小林看空師の作品である。

「AB2019、2019ABがそれぞれ素数になるようにA,Bを定めよ」

答えは、新年らしいものであるが、作者がこれが素数と発見したのが素晴らしい。
手頃な難しさという点でも見事である。

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タイヤの減り具合！

12月18日午後4時ころのことである。

遠方の裁判所に行き、ある区間でタクシーに乗っていたときのことである。
そのタクシーの中で流れているラジオの内容が面白かった。

－　リスナーの投書を紹介し、いつも同じ区間を載っているのに、コース、速度、タイヤの減り具合などでタクシー料金が違う、という話題から、そのリスナーの「タイヤの減り具合」でも料金が違うというくだりに、いや知りませんでしたと司会が述べたのである。

そこで私が，乗っているタクシーの運転手に「面白いラジオの話題ですね」と水を向けたところ、タクシーの運転手は直ちに「いやあ、タイヤの減り具合は関係ありません。何故ならタクシー料金は『距離』と『時間』だけで決まるからです」と言い切ったのである。

これは実に興味深い。

私は「その距離というのはタイヤの回転数で決まるのではないでしょうか？」と聞くと運転手は、そうだ、という。

とすると、これはリスナーが正しいことになる。
何故なら、タイヤが減れば、タイヤの円周が変わることになる。
とすれば、距離に影響するのは当然である。
つまりリスナーが正しい。

私は「タイヤが減れば、タイヤの直径はわずかに短くなるんではないでしょうか？」とやんわりと尋ねたのだが運転手さんの応答がなく、そういう「算数」には関心がなさそうなので、それ以上喋るのはやめた。

しかしタイヤの減り具合がタクシー料金に影響するというのは実に面白い。

感覚的には運転手が関心を示さなかったように、ほんのわずか違いのように思える…。
しかし直径０．５センチメートル減れば、円周は約１．５センチメートル減るのであるから、メーターが上がる距離（例えば２キロメートル）でタイヤが何千回回転するのか不明だが、いずれにせよ数メートルの誤差があることは容易に想像できる。

とすれば確かに、料金は変わるだろう。

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日能研の電車問題！

11月 22日のブログに「式が代わって考えてくれる！」と述べた。

京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授が「代数で解く感動」に関連しての話であるが、今週の阪急電車に日能研の中学入試問題が紹介されていた。
「シカクい頭をマルくする」という電車でお馴染みの中学入試シリーズである。

最新問題は立命館中学の問題で以下の通りである。

「５や１０などはいくつかの連続した整数の和で表す事が出来ます。例えば
５＝２＋３
１０＝１＋２＋３＋４
と表すことが出来ます。
１１から２０までの整数でこのようにいくつかの連続した整数の和で表すことの出来ない整数をすべて答えなさい」

う～ん。

代数を使えばすぐに解ける。

連続した整数は
ｎ、ｎ＋１＝２ｎ＋１
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２＝３ｎ＋３
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３＝４ｎ＋６
と表せ、５つ以上連続するのは２０を超えるから、この３つの代数式に限られる。

すると順に数字を埋めて
１１，１３，１５，１７、１９
１２，１５，１８
１０，１４，１８
と決まるから、表すことが出来ないのは、残る１６である。

あっという間に解ける。

しかしこれは代数を使うから簡単に解けるのであって、これを代数を使わない「小学校のつるかめ方式」で解くのはどうするのだろう。

いやあ、解けない。
難しい…。

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式が代わって考えてくれる！

本日の朝日新聞に京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授のインタビューが出ている。

受賞理由は，「Ｄ加群」という理論を構築して現代数学を発展させてことにあるのだが、この「Ｄ加群」とは何かはさっぱりわからない。

それはともかく柏原教授のインタビュー自体は全てに興味深い。

中でも私が引き付けられたのは次のくだりである。

「数学が苦手な子も多いが、関心を持つには？」との問いに教授は「小学校ではつるかめ算のような問題を難しいと思うかもしれない。だが、数学の代数Ｘを使うと簡単に解けて感動する」と答える。

この回答に私自身が中学校の頃に読んだ数学者のエッセイか書物の一節を思い出した。

その数学者はつるかめ算を代数で解くことについて「式が代わって考えてくれる」と述べていたのである。

私は、この言葉にいたく感動して、そのために今でもこの言葉自体は覚えている。
残念ながらその数学者は（何人もの数学者の書物をもっているため）思い出せないのだが…。

柏原教授の回答を読んで改めて考えさせられる。
＜数学の代数Ｘを使うと簡単に解けることに感動する者＞と、＜その説明の仕方に感動する者＞との違いが、数学の道を志す者と、言葉を駆使する世界を目指す者の違いがあるのかもしれない。

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12345679の謎！

谷英樹氏は京大奇術研究会の後輩であり、優秀なマジシャンでかつ素晴らしいクリエーターである。

彼のツイッターは私の知らないマジック情報が満載で非常に面白い。
マジックのみならず、ミステリやパズルなどその造詣の深さに感心する。
先日そのツイッターを覘くと、面白い下りがあった。

「ちょっと すごいこと発見した！
電卓で、1÷3÷3÷3÷3= って計算してみ？」
「答えが 0.0123456790123456790 って続くから！！」
「でも、なんでこんな面白い数字の並びになるのかが不思議！
教えて、数学に強い人！！」
「数学にめっちゃ強い人、池田洋介(@ikeikey)さんが、この数列の謎を分かりやすく解説してくださいました！」
として池田さんの解説が出ているのだがこれが素晴らしい！

（詳細は、是非、谷さんのツイッターを見てください）

我々の世代は子供のころ、普通にそろばんを習っていた。
その遊びの一つに、12345679をずっと足していくという遊びがある。
すると何回目かには、きれいに111111111と並ぶのだが、これが何とも言えず気持ちいい！

また、電卓マジックで、予め「12345679」と入れておきその電卓を渡して「好きな一桁の数字を選んで下さい。そして、その数字をその電卓でかけて下さい」（例えば６を選んで、６をかける）と言う。
電卓を返してもらって「あなたの選んだ数字はこれでしょう」と言いながら、さらに９をかけると…。
すると電卓には選ばれた数字６が並ぶ！

とまあ、12345679は昔からなじみのある数字なのだが、何故８が抜けているのかは考えたことはなかった。

疑問を持った谷氏も素晴らしいが、解説した池田氏はさすがに数学者である。
この説明がうまいのである。

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感心しました。

数学の思考法！

事務所報で毎回パズルを載せている。

この夏号でも出したのだが、そのパズルの核心は表面的な問題に隠された「間違いに気づくこと」。
まあ、ミステリでいえば私の好きな一種の叙述トリックなんですね。

ところがこのパズルの思想自体を理科系の知人から強烈に批判されました。

つまり、数学の本質は真理に帰するものであり、「間違いを探せ」の思想は数学の世界では本質的に誤りだというのです。

いやあ面白いですね。
貴重な意見です。
理科系ではそうなのか、成程、と感心しました。

しかし、私たち司法の世界では「間違いに気付く」ことは重要で、司法試験の短答式でも「次の５つの説明文の中から間違いを選べ」という問題は短答式問題の定番として必ず出題される形式です。

これは、その緻密性や真理の追及たる数学と違って、司法の世界では、人々が互いに気持ちよく生活する為に「法の支配」による（非合理な支配を排する）ことを目指し、その為に「非合理な論理」を見破る（要するに間違いを見つける）ことの重要性を意識しているからだと考えられます。

いずれにせよ、発想の違う世界の方と議論するのは大変楽しいものです。

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４枚のカードから２枚の数字が一致する確率

「北斗館ビュッフェランチ＆プロ棋士と遊ぼう！」の話題の続き。

プロ棋士と組んでの「神経衰弱ゲーム」などを楽しんだと書いた。

その神経衰弱で、残り４枚となる。
（当然、同じ数字同士のペアが２セット残っている）

まあ大抵順番が来た方が残り全部取る。
その為だろう、今泉健司四段が毎回シャフルするルールに変える。
（それはもはや「記憶力ゲーム」ではないのだが…）

その今泉四段のテーブルを見ると…。
ギャラリーの「案外あたらないなあ」との声のもと、何回か繰り返されていた。

確かに、この場合の確率を「一致するか、一致しないかのどちらか」だから、２分の１。
こう思いこむと、なかなか当たらないのは不思議である。

しかしこの場合の一致する確率は３分の１である（一致しない確率が３分の２）。

従って、一致するまで何回か繰り返されてもそんなに不思議なことではない。

どうも、確率２分の１と思い込んでいた方がおられるようで、実はそれが興味深い。

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パズルの反応！

１年に２回、事務所報を発行し、知人、依頼者、希望者らには無料で配布している。

そこに私がパズルを載せている。

パズルファンは（数は少なくとも）一定数おられ、そういう方からの感想は実に嬉しい。

「詐欺だ！」という否定的感想なども含め、反応を頂けるのが一番うれしいのです。

今回の問題は、三角形の面積を問う、とありながら、図に書かれた三角形は、底辺が１０、高さが６の直角三角形。

実はこういう三角形は存在せず、注意力を試す問題でした。

『笑う数学』から「アメリカの窓の会社」の入社試験とあり、それ以上、この会社については知らなかったのですが、知人が指摘してくれました。
実はもともとはマイクロソフト社がインドで出した入社試験が最初なんだそうです。
いやあ驚きです。

しかもその知人は、同時に解法についても、本来は勘弁に解けるのをわざと「代数的解法」を示してこられました。
これも驚きです。

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