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by kazuo_okawa

カテゴリ:パズル・統計・数学( 45 )

看空師の新年パズル

有難いことにたくさんの年賀状を頂戴し、非常に長文のメッセージが入ったものなど、凝った年賀状は読むのが楽しみである。

パズル入りの作品も楽しみであるが、オーソドックスなのは年号にあやかるのが基本である。

私も以前、年号にあやかったパズルを作り当事務所の「事務所報」に掲載したことがあるが、なかなか難しいものである。
難しいというのは、解き手の意欲をかきたて、それでなおかつ唸らせるというほど良い難度の作品を作るのが難しいという意味である。
最近では、どちらかというと「ひっかけパズル」を作るため、真面目な方からは批判されたりしている。

それはさておき、今年感心した作品。

大学時代からの友人、小林看空師の作品である。

「AB2019、2019ABがそれぞれ素数になるようにA,Bを定めよ」

答えは、新年らしいものであるが、作者がこれが素数と発見したのが素晴らしい。
手頃な難しさという点でも見事である。
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by kazuo_okawa | 2019-01-06 19:40 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

タイヤの減り具合!

12月18日午後4時ころのことである。

遠方の裁判所に行き、ある区間でタクシーに乗っていたときのことである。
そのタクシーの中で流れているラジオの内容が面白かった。

- リスナーの投書を紹介し、いつも同じ区間を載っているのに、コース、速度、タイヤの減り具合などでタクシー料金が違う、という話題から、そのリスナーの「タイヤの減り具合」でも料金が違うというくだりに、いや知りませんでしたと司会が述べたのである。

そこで私が,乗っているタクシーの運転手に「面白いラジオの話題ですね」と水を向けたところ、タクシーの運転手は直ちに「いやあ、タイヤの減り具合は関係ありません。何故ならタクシー料金は『距離』と『時間』だけで決まるからです」と言い切ったのである。

これは実に興味深い。

私は「その距離というのはタイヤの回転数で決まるのではないでしょうか?」と聞くと運転手は、そうだ、という。
とすると、これはリスナーが正しいことになる。
何故なら、タイヤが減れば、タイヤの円周が変わることになる。
とすれば、距離に影響するのは当然である。
つまりリスナーが正しい。

私は「タイヤが減れば、タイヤの直径はわずかに短くなるんではないでしょうか?」とやんわりと尋ねたのだが運転手さんの応答がなく、そういう「算数」には関心がなさそうなので、それ以上喋るのはやめた。

しかしタイヤの減り具合がタクシー料金に影響するというのは実に面白い。
感覚的には運転手が関心を示さなかったように、ほんのわずか違いのように思える…。
しかし直径0.5センチメートル減れば、円周は約1.5センチメートル減るのであるから、メーターが上がる距離(例えば2キロメートル)でタイヤが何千回回転するのか不明だが、いずれにせよ数メートルの誤差があることは容易に想像できる。

とすれば確かに、料金は変わるだろう。
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by kazuo_okawa | 2018-12-23 17:17 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

日能研の電車問題!

11月 22日のブログに「式が代わって考えてくれる!」と述べた。

京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授が「代数で解く感動」に関連しての話であるが、今週の阪急電車に日能研の中学入試問題が紹介されていた。
「シカクい頭をマルくする」という電車でお馴染みの中学入試シリーズである。

最新問題は立命館中学の問題で以下の通りである。

「5や10などはいくつかの連続した整数の和で表す事が出来ます。例えば
5=2+3
10=1+2+3+4
と表すことが出来ます。
11から20までの整数でこのようにいくつかの連続した整数の和で表すことの出来ない整数をすべて答えなさい」

う~ん。

代数を使えばすぐに解ける。

連続した整数は
n、n+1=2n+1
n、n+1、n+2=3n+3
n、n+1、n+2、n+3=4n+6
と表せ、5つ以上連続するのは20を超えるから、この3つの代数式に限られる。

すると順に数字を埋めて
11,13,15,17、19
12,15,18
10,14,18
と決まるから、表すことが出来ないのは、残る16である。
あっという間に解ける。

しかしこれは代数を使うから簡単に解けるのであって、これを代数を使わない「小学校のつるかめ方式」で解くのはどうするのだろう。

いやあ、解けない。
難しい…。
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by kazuo_okawa | 2018-11-25 15:38 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)
本日の朝日新聞に京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授のインタビューが出ている。
受賞理由は,「D加群」という理論を構築して現代数学を発展させてことにあるのだが、この「D加群」とは何かはさっぱりわからない。

それはともかく柏原教授のインタビュー自体は全てに興味深い。

中でも私が引き付けられたのは次のくだりである。

「数学が苦手な子も多いが、関心を持つには?」との問いに教授は「小学校ではつるかめ算のような問題を難しいと思うかもしれない。だが、数学の代数Xを使うと簡単に解けて感動する」と答える。

この回答に私自身が中学校の頃に読んだ数学者のエッセイか書物の一節を思い出した。

その数学者はつるかめ算を代数で解くことについて「式が代わって考えてくれる」と述べていたのである。

私は、この言葉にいたく感動して、そのために今でもこの言葉自体は覚えている。
残念ながらその数学者は(何人もの数学者の書物をもっているため)思い出せないのだが…。

柏原教授の回答を読んで改めて考えさせられる。
<数学の代数Xを使うと簡単に解けることに感動する者>と、<その説明の仕方に感動する者>との違いが、数学の道を志す者と、言葉を駆使する世界を目指す者の違いがあるのかもしれない。
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by kazuo_okawa | 2018-11-22 18:00 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

12345679の謎!

谷英樹氏は京大奇術研究会の後輩であり、優秀なマジシャンでかつ素晴らしいクリエーターである。

彼のツイッターは私の知らないマジック情報が満載で非常に面白い。
マジックのみならず、ミステリやパズルなどその造詣の深さに感心する。
先日そのツイッターを覘くと、面白い下りがあった。

「ちょっと すごいこと発見した!
電卓で、1÷3÷3÷3÷3= って計算してみ?」
「答えが 0.0123456790123456790 って続くから!!」
「でも、なんでこんな面白い数字の並びになるのかが不思議!
教えて、数学に強い人!!」
「数学にめっちゃ強い人、池田洋介(@ikeikey)さんが、この数列の謎を分かりやすく解説してくださいました!」
として池田さんの解説が出ているのだがこれが素晴らしい!

(詳細は、是非、谷さんのツイッターを見てください)

我々の世代は子供のころ、普通にそろばんを習っていた。
その遊びの一つに、12345679をずっと足していくという遊びがある。
すると何回目かには、きれいに111111111と並ぶのだが、これが何とも言えず気持ちいい!

また、電卓マジックで、予め「12345679」と入れておきその電卓を渡して「好きな一桁の数字を選んで下さい。そして、その数字をその電卓でかけて下さい」(例えば6を選んで、6をかける)と言う。
電卓を返してもらって「あなたの選んだ数字はこれでしょう」と言いながら、さらに9をかけると…。
すると電卓には選ばれた数字6が並ぶ!

とまあ、12345679は昔からなじみのある数字なのだが、何故8が抜けているのかは考えたことはなかった。

疑問を持った谷氏も素晴らしいが、解説した池田氏はさすがに数学者である。
この説明がうまいのである。
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感心しました。

by kazuo_okawa | 2018-11-16 23:13 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

数学の思考法!

事務所報で毎回パズルを載せている。

この夏号でも出したのだが、そのパズルの核心は表面的な問題に隠された「間違いに気づくこと」。
まあ、ミステリでいえば私の好きな一種の叙述トリックなんですね。

ところがこのパズルの思想自体を理科系の知人から強烈に批判されました。

つまり、数学の本質は真理に帰するものであり、「間違いを探せ」の思想は数学の世界では本質的に誤りだというのです。

いやあ面白いですね。
貴重な意見です。
理科系ではそうなのか、成程、と感心しました。

しかし、私たち司法の世界では「間違いに気付く」ことは重要で、司法試験の短答式でも「次の5つの説明文の中から間違いを選べ」という問題は短答式問題の定番として必ず出題される形式です。

これは、その緻密性や真理の追及たる数学と違って、司法の世界では、人々が互いに気持ちよく生活する為に「法の支配」による(非合理な支配を排する)ことを目指し、その為に「非合理な論理」を見破る(要するに間違いを見つける)ことの重要性を意識しているからだと考えられます。

いずれにせよ、発想の違う世界の方と議論するのは大変楽しいものです。
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by kazuo_okawa | 2018-10-03 23:19 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)
「北斗館ビュッフェランチ&プロ棋士と遊ぼう!」の話題の続き。

プロ棋士と組んでの「神経衰弱ゲーム」などを楽しんだと書いた。

その神経衰弱で、残り4枚となる。
(当然、同じ数字同士のペアが2セット残っている)

まあ大抵順番が来た方が残り全部取る。
その為だろう、今泉健司四段が毎回シャフルするルールに変える。
(それはもはや「記憶力ゲーム」ではないのだが…)

その今泉四段のテーブルを見ると…。
ギャラリーの「案外あたらないなあ」との声のもと、何回か繰り返されていた。

確かに、この場合の確率を「一致するか、一致しないかのどちらか」だから、2分の1。
こう思いこむと、なかなか当たらないのは不思議である。

しかしこの場合の一致する確率は3分の1である(一致しない確率が3分の2)。
従って、一致するまで何回か繰り返されてもそんなに不思議なことではない。

どうも、確率2分の1と思い込んでいた方がおられるようで、実はそれが興味深い。
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by kazuo_okawa | 2018-08-27 12:37 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

パズルの反応!

1年に2回、事務所報を発行し、知人、依頼者、希望者らには無料で配布している。

そこに私がパズルを載せている。
パズルファンは(数は少なくとも)一定数おられ、そういう方からの感想は実に嬉しい。
「詐欺だ!」という否定的感想なども含め、反応を頂けるのが一番うれしいのです。

今回の問題は、三角形の面積を問う、とありながら、図に書かれた三角形は、底辺が10、高さが6の直角三角形。

実はこういう三角形は存在せず、注意力を試す問題でした。

『笑う数学』から「アメリカの窓の会社」の入社試験とあり、それ以上、この会社については知らなかったのですが、知人が指摘してくれました。
実はもともとはマイクロソフト社がインドで出した入社試験が最初なんだそうです。
いやあ驚きです。

しかもその知人は、同時に解法についても、本来は勘弁に解けるのをわざと「代数的解法」を示してこられました。
これも驚きです。
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by kazuo_okawa | 2018-08-10 23:57 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)
「弁護士会館エレベーターの謎 〜 マーフィーの法則」というコラムを私のホームページに載せている。

 内容は簡単にいうと以下のとおりである。

 大阪弁護士会館のエレベーターは東から西へ4台並んでいる。
 会館入り口を入ってすぐを右折し、また右折したところに、手前から奥へと4台並んでいる。手前から奥へ、というのが味噌で、要するに奥まで歩くのは面倒なのである。
 この4台並んでいるエレベーターを利用した場合、実際に来るのは一番奥の(つまり西側で一番遠いところにある)エレベーターであることが多いと感ずるが、それは錯覚であり、実は公平に同じ割合でエレベーターはやってくる。
 そしてこの錯覚は「自分にとって不快なことは、拡大して印象に残る」というマーフィーの法則である。

 まあそういったことを書いたコラムであり、全文はぜひホームページ・コラム欄でお読みください。

 さて続編というのはこうである。

 6日に講演に出向いたときに、聴講者のお一人が近づいてこられ、私の前述のコラムを読まれたことと、実はその「公正な」エレベーターを設計したのは私です、というもので、大変驚きました。
 いや、率直に会館設計ではお世話になりました。
 改めてお礼です…。

 以上が続編の「出来事」ですが、そこで考えました。

 「体感」に基づいた「公正な」エレベーターは出来ないか!

 機械的に「公正」だとしても、人は、偏りを感ずることがある。
 それならば、わざと、その感覚を前提とするように「偏り」を入れておくのである。

 つまり手前から、奥へ、A、B、C、D4台のエレベーターがあるときに、Aはやや多い目に,Bはほんの少し多い目に、Cはほんの少し少ない目に,Dはやや少ない目にというように,AからDへ漸減的にエレベーターの来る率を変えて、体感としての「公正さ」を実現するのである。

 人は機械のように判断するのではない。
 人は感情を持った生き物であり、それを前提に行動をとらえる「行動経済学」の発想でもある。

 これが何の役に立つのか。
 無論それは、「公正らしさ」を感じさせることによって、不快感を少しでも減らすのである。


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by kazuo_okawa | 2018-02-07 18:30 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)

1月29日の朝日新聞夕刊に、非常に面白い記事が出ていた。

表題の見出しで「静岡県内の建設関連35社でつくる県建設コンサルタンツ協会が、日本一の富士山(標高3776メートル)の「体積のはかり方」を募集している。答えが出ていなくても、正確でなくてもOK。はかり方のユニークさや面白さがコンテストでの審査ポイントとなる。」という記事である。

この種の話題に少し詳しい人なら、2003年のベストセラー「ビル・ゲイツの面接試験~富士山をどう動かしますか?」を直ちに思い起こすだろう。

わざと答えの無い問題を出して、その答え方から、その柔軟な思考力を見出し、そのことによって真の意味での「知性」を採用するのが、ビル・ゲイツの面接試験だとして話題を呼んだのである。

ビル・ゲイツの入社試験は「富士山」が好きで、富士山を動かすのにどれくらいの時間がかかるか?という問題もある。

また大きなモノ(ミシシッピ川の流水量など)をはからせるのもある。

何が言いたいのかといえば、この朝日の新聞記事を読めば「ああ、ビル・ゲイツの入社試験だな」と思ってしまうのである。

ちなみに、この書がヒットした後「グーグルの入社試験」など入社試験モノが続いた。

さらには「オックスフォード&ケンブリッジ 世界一考えさせる入試問題」など入試問題モノも出版され、そのころに現実の東大の数学入試問題「円周率が3・1より大きいことを証明せよ」が名問題などと話題となったものである。

さてそういった歴史をこの記事を書いた記者が知っているのかどうかは知らない。

しかし、記事中「そんな斬新なアイデアを協会は期待する。」と記者は書くのだけれども、実はこの協会の問題自身は,全く「斬新なアイデア」ではないのである。

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by kazuo_okawa | 2018-01-30 00:01 | パズル・統計・数学 | Trackback | Comments(0)