大阪の弁護士大川一夫のブログ

話題の算数問題！

今朝（6日）出かけに、羽鳥慎一モーニングショーを見ていたら、ネットで話題になっているという算数問題が紹介されていた。

それは次のような小学２年生の算数の問題である。

「ゆきこさんの家からえきまで３０分かかります。８時５０分にえきにつくには、家を何時何分に出るとよいですか？　りゆうもかんがえましょう」。

さて、答えは？

実は、SAGE（@sage_darts）さんという方のお子さんが次のような解答をして、残念ながらマルはもらえませんでした、としてネット上、盛り上がっているという。

その解答とは
「家を８時１５分に出るとよい。８時２０だとぎりぎりであせるとあぶないから。」

コメンテータの玉川徹氏など社会人のマナーも含めた色々な意見も興味深いが、単純に算数の問題としても、マルをあげるべきだろう。

つまりそのお子さんは、普通に「8時20分」という正解を知りつつ（そしてその計算結果は示されている）、さらにそれをひねっているのだから「正解」以外の何物でもない、と思うのだが…。

仮にこれを×とするなら、問題に、「ゆきこさんの家からえきまで＜どんな状況でも丁度＞３０分かかります。」「８時５０分＜丁度ぴったりに＞にえきにつくには」としなければ不親切なのではないだろうか。

まあ、日本の現在の教育は、こういう柔軟な発想には×として、問題の意図を従順に読み取るものに正解を与えるのですね。

河田名人の思い！

熱心な阪神ファンでもない私としては
デイリースポーツの一番の楽しみは毎週金曜日の「名人河田智のパズル天国」である。

25日付で河田氏は、台風19号の被害に触れて、生き死にのレベルで苦しんでおられるときに、面白おかしいパズル作りの自分の仕事が不謹慎であるとすら感じると述べる。
おそらく、娯楽に携わる人はこういう問題に直面するのではないだろうか。

しかし河田氏はそのあとに、テレビ報道で集合避難場所にてクロスワードを解く人の姿を見て救われた、と述べるのである。
しかも「逆に勇気づけられ、励まされる思いでした」との率直な感想が打たれる。

良いコラムですね。

河田氏のこの日の作品。

ナンプレは中央の３×３に数字が無い。

こういう配置は大変面白く解答意欲をそそる。
しかしヒントの数字は２４個も開示され難易度は低い。

ナンクロも、見た目の配置（黒マスの位置関係）が美しい。
ヒントは「カ」「ガ」だけであるが、その隣が
「カガ〇〇〇」であるから、「科学者」か「加害者」かと当たりをつけられる。
こちらは適度に難しい。

とはいえ、いずれも「解答意欲」をそそるという見事な名問題なのである。

日本の面積？

9月8日帰宅してテレビのクイズ番組を何気なくつけていると
有名な現役東大生クイズ王松丸亮吾氏に対するとある問題に引きつけられた。

「日本の面積はいくらか？」

このときの彼の解答は二重の意味で興味深かった。

彼は知識としては知らなかった。

私たちは小学生のころ、日本の面積は約37万平方キロメートルと教わった。
これがそれだけなら何も記憶に残らずいつか忘れ去ったに違いない。
これがその後政治的理由により約38万平方キロメートルと修正されたのである。

だから記憶に残っている。

いかに東大秀才でもこの政治的増加は知らなかったかと興味深く思ったのだが、驚愕したのはそのあとである。

つまり彼は、日本の面積は知らなかったが、4択問題であることから、日本の面積の概算を計算したのである。

その手法は、新幹線の速度と時間から距離を求め（例えば、東京・名古屋間時速200キロメートルで2時間ゆえ400キロメートル）ということを重ねていって概算50万平方メートルとし、それに近い4択の中から見事に正解を選んだのである。

実にこの思考法自体が凄すぎるのである。

無論、「ビル・ゲイツの面接試験～富士山をどう動かしますか？」や「グーグルの入社試験」など、大きく掴む柔軟な思考法を問う問題とその解法を知っていれば別だが…。

いや知っていてもそれはそれで素晴らしい知識といえる。

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日能研に考え込む！

阪急電車に、定期的に日能研の問題が出る。

中学入試問題からであり、つまりは小学校6年生までの学力で解くことになる。

時折、難しいのが出てきて驚くことは以前もこのブログで取り上げた。

今、掲載されているのは次の問題である。

「１以上の整数Ａを２でくり返し割っていき割り切れなくなったときの整数を＜Ａ＞ろします。
例えば＜２０＞＝５、＜８＞＝１、＜３＞＝３です。
次の問いに答えなさい。

問。４×＜Ａ＞とＡが等しくなるような１以上２０１９以下の整数Ａはいくつありますか。」

一目見て解答欲をそそる問題である。
しかし、阪急電車に乗っている間には解けない。

まず問題の理解に若干考える。

小学生の問題だから方程式を使わない前提（入試では実際は使ってもいいらしいが）でも解ける、とするならどう考えるのか。

2で割って、2で割って、それが元の数と同じだというのだから２×２の４毎に該当する整数が登場してくるのだはないかと思う。
しかし、実際に計算すると、＜４＞は該当するが＜８＞は該当せず、＜12＞は該当すると、予想に反して8毎である。

う～ん。

小学生で解かないといけない問題なんですよ。

無論、しらみつぶしに当たっていけば解ける。

しかし、全くエレガントな解法が思いつかない。

これはひょっとしたら、「考えるな」「コツコツやれ」とうのがこの問題の趣旨なんだろうか。

繰り返しますが、小学生対象ですよ。

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数学教育と歴史修正主義

「動的平衡」を初めて読んだときその驚くべき視点に感動したが、その「動的平衡」で有名な福岡伸一教授の朝日新聞の連載コラムにはいつも感心する。

福岡教授は、本日は日本ではホワイトデーだが、米国ではパイの日という話題から「３・１４」が円周率のところ、かつて、いわゆる“ゆとり教育”の頃「円周率は３」でよいとの風聞が流れた事を批判する。

さらには東大の名問題（円周率は３・０５以上であることを証明せよ）を引き、最後に、数学を軽んじる教育は、歴史の発展を無視するもので「歴史修正主義」と断じている。

数学教育の軽視が問題なのは全く同感だが、その批判の視点が、「歴史修正主義」というのが極めて面白い。

今日一般には、「従軍慰安婦強制連行はなかった」「南京大虐殺はなかった」など「美しい日本」を強調するために「加害の事実」を打ち消そうとして、歴史を捻じ曲げる主張が歴史修正主義と言われる。

数学教育、科学教育で、歴史の発展を無視して教えるのは確かに、歴史修正主義かもしれない。

福岡教授のこういう意表をつく発想に感心するのである。

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ダメな理由はない！

２０１８年11月 2５日のブログで、阪急電車によく広告される、日能研の「シカクい頭をマルくする」中学入試シリーズで立命館中学の入試問題が出ていることを紹介した。

非常に面白い問題であり感心したが、同時に「代数」を使えれば難なく解けるのに、これを、代数を使わないでどうして説くのだろう、と疑問を呈したブログである。

実は、私は＜中学入試問題では「小学校で習う解き方で解く」つまり、代数や方程式は使ってはいけない＞と思い込んでいたが、どうやらこれは誤解であり、しかもこの誤解は広くいきわたっているようである。

これが誤解と知ったのは、朝日新聞３月１１日付「中学入試　方程式はＮＧ？」という記事である。
大変面白い記事で、実は、中学側は、何と、方程式で説いたとしても「ダメな理由はない」という。
つまり正解なのだから、不合格にする理由はないという。

では何故こういう誤解が生じたかと言えば、小学校教育では「教科書と違う解き方は誤り」としていることにある。
＜鶴亀算を教えているのだから、鶴亀算以外の解き方をしてはいけない＞
＜ジュース４７ダースの本数を求める計算は、１２×４７と教えているから、４７×１２では誤り＞などなど、要するに、正しくても、教え方と違うのは誤りというわけである。

ここに、我が国の教育の問題点の本質が如実に表れている。

つまり、我が国の教育は＜真理、真実を追究する＞のではなく、＜言われた通りに従う＞ことを重視していることがわかる。

この教育の行きつくところは、何なのか。
要するに＜言われたことに従え＞

＜言われてことに従わないのは、真理として正しくてもダメ＞

繰り返すが、この教育の行きつくところは何なのか。

大変、恐ろしい。

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看空師の新年パズル

有難いことにたくさんの年賀状を頂戴し、非常に長文のメッセージが入ったものなど、凝った年賀状は読むのが楽しみである。

パズル入りの作品も楽しみであるが、オーソドックスなのは年号にあやかるのが基本である。

私も以前、年号にあやかったパズルを作り当事務所の「事務所報」に掲載したことがあるが、なかなか難しいものである。
難しいというのは、解き手の意欲をかきたて、それでなおかつ唸らせるというほど良い難度の作品を作るのが難しいという意味である。
最近では、どちらかというと「ひっかけパズル」を作るため、真面目な方からは批判されたりしている。

それはさておき、今年感心した作品。

大学時代からの友人、小林看空師の作品である。

「AB2019、2019ABがそれぞれ素数になるようにA,Bを定めよ」

答えは、新年らしいものであるが、作者がこれが素数と発見したのが素晴らしい。
手頃な難しさという点でも見事である。

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タイヤの減り具合！

12月18日午後4時ころのことである。

遠方の裁判所に行き、ある区間でタクシーに乗っていたときのことである。
そのタクシーの中で流れているラジオの内容が面白かった。

－　リスナーの投書を紹介し、いつも同じ区間を載っているのに、コース、速度、タイヤの減り具合などでタクシー料金が違う、という話題から、そのリスナーの「タイヤの減り具合」でも料金が違うというくだりに、いや知りませんでしたと司会が述べたのである。

そこで私が，乗っているタクシーの運転手に「面白いラジオの話題ですね」と水を向けたところ、タクシーの運転手は直ちに「いやあ、タイヤの減り具合は関係ありません。何故ならタクシー料金は『距離』と『時間』だけで決まるからです」と言い切ったのである。

これは実に興味深い。

私は「その距離というのはタイヤの回転数で決まるのではないでしょうか？」と聞くと運転手は、そうだ、という。

とすると、これはリスナーが正しいことになる。
何故なら、タイヤが減れば、タイヤの円周が変わることになる。
とすれば、距離に影響するのは当然である。
つまりリスナーが正しい。

私は「タイヤが減れば、タイヤの直径はわずかに短くなるんではないでしょうか？」とやんわりと尋ねたのだが運転手さんの応答がなく、そういう「算数」には関心がなさそうなので、それ以上喋るのはやめた。

しかしタイヤの減り具合がタクシー料金に影響するというのは実に面白い。

感覚的には運転手が関心を示さなかったように、ほんのわずか違いのように思える…。
しかし直径０．５センチメートル減れば、円周は約１．５センチメートル減るのであるから、メーターが上がる距離（例えば２キロメートル）でタイヤが何千回回転するのか不明だが、いずれにせよ数メートルの誤差があることは容易に想像できる。

とすれば確かに、料金は変わるだろう。

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日能研の電車問題！

11月 22日のブログに「式が代わって考えてくれる！」と述べた。

京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授が「代数で解く感動」に関連しての話であるが、今週の阪急電車に日能研の中学入試問題が紹介されていた。
「シカクい頭をマルくする」という電車でお馴染みの中学入試シリーズである。

最新問題は立命館中学の問題で以下の通りである。

「５や１０などはいくつかの連続した整数の和で表す事が出来ます。例えば
５＝２＋３
１０＝１＋２＋３＋４
と表すことが出来ます。
１１から２０までの整数でこのようにいくつかの連続した整数の和で表すことの出来ない整数をすべて答えなさい」

う～ん。

代数を使えばすぐに解ける。

連続した整数は
ｎ、ｎ＋１＝２ｎ＋１
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２＝３ｎ＋３
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３＝４ｎ＋６
と表せ、５つ以上連続するのは２０を超えるから、この３つの代数式に限られる。

すると順に数字を埋めて
１１，１３，１５，１７、１９
１２，１５，１８
１０，１４，１８
と決まるから、表すことが出来ないのは、残る１６である。

あっという間に解ける。

しかしこれは代数を使うから簡単に解けるのであって、これを代数を使わない「小学校のつるかめ方式」で解くのはどうするのだろう。

いやあ、解けない。
難しい…。

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式が代わって考えてくれる！

本日の朝日新聞に京都賞受賞者の柏原正樹京都大学特任教授のインタビューが出ている。

受賞理由は，「Ｄ加群」という理論を構築して現代数学を発展させてことにあるのだが、この「Ｄ加群」とは何かはさっぱりわからない。

それはともかく柏原教授のインタビュー自体は全てに興味深い。

中でも私が引き付けられたのは次のくだりである。

「数学が苦手な子も多いが、関心を持つには？」との問いに教授は「小学校ではつるかめ算のような問題を難しいと思うかもしれない。だが、数学の代数Ｘを使うと簡単に解けて感動する」と答える。

この回答に私自身が中学校の頃に読んだ数学者のエッセイか書物の一節を思い出した。

その数学者はつるかめ算を代数で解くことについて「式が代わって考えてくれる」と述べていたのである。

私は、この言葉にいたく感動して、そのために今でもこの言葉自体は覚えている。
残念ながらその数学者は（何人もの数学者の書物をもっているため）思い出せないのだが…。

柏原教授の回答を読んで改めて考えさせられる。
＜数学の代数Ｘを使うと簡単に解けることに感動する者＞と、＜その説明の仕方に感動する者＞との違いが、数学の道を志す者と、言葉を駆使する世界を目指す者の違いがあるのかもしれない。

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